Jegyzetek a kipukkadt leggombhoz
Hosszu teli a'lombol felebredven hadd elevenitsuk fel az oszi
AL-VILAG vita nehany mozzantat, akkor is, ha mar az EG-VILAGON
senkit nem erdekel.
Kampis Gyorgy irta a kovetkezoket a kaoszrol:
"Kerem, a kaosz nem paradigma, a kaosz egy kipukkadt leggomb, egy
kis cirada a dinamikus rendszerek elmeleten. Paradigma a Church-
Turing hipotezis, vagy a newtoni vilagkep,...
...A kaotikus rendszer ugyan
nem modellezheto szamitogeppel (csak a szohossz altal limitalt
hatarciklus, ergo egy SGI Crimson [64 bit] jobb, mint egy XT [8
bit]), de maga a kaoszt produkalo egyenlet igen. A kaosz
bonyolultsaga a kezdeti feltetelben van, nem az egyenletben. A
kaosz tehat nem azert nem fer bele a szamitogepbe, mert nem
algoritmikus, hanem mert az exact kaosz vegtelen sok jegybol allo
kezdeti erteket tetelez fel. Me'g a kaotikus tartomanyban is, egy
veges sok jegyu, pontosan megadott kezdoertek, amilyen pl. a
nulla, veges hatarciklust eredmenyez. A "kaosz" egyszeruen
komplexitasmegorzo transzformacio es kesz. ...
Az, hogy nem megjosolhato, meg nem algoritmikus,
az ket total kulonbozo dolog, tetezve azzal a hibaval,
hogy a kaosz "meg nem josolhatosaga" egy egeszen specialis
ertelemben van, vagyis, hogy a hibas joslas az
idovel tetszolegesen leromlik. De a pontos joslas pontos marad
(ld fent), kulonben is, mit nem lehet az ingan megjosolni, ha't leng.
Persze ami nem algoritmikus, pl. amirol nem tudom, leng-e, sot
inga-e me'g egyaltalan, vagy ma'r hal(l)hatatlan le'lekke
alakult, ki a networkon levelez, az sem megjosolhato, de nem minden
rovar bogar. ..."
Ha Kampis Gyuri ezt irta, akkor ez semmikeppen nem egy
marginalis allaspont, hanem egy szakterulet, az elo rendszerek
onszervezodesenek elmeleti problemait felolelo tudomanyag letezo
allaspontja. Nekunk megis ketelyeink vannak a kaosz elmelet
ilyeten lesoporhetosegevel szemben, amelyeket szeretnenk
megosztani.
1. Ha a kaosz bonyolultsaga nem az egyenletben, hanem a kezdeti
feltetelekben lenne, akkor az, hogy az inga kaotikus lengest vegez,
vagy sem, kizarolag azon mulna, honnan inditjuk el. Ez
nyilvanvaloan nem igaz. Adott kiindulo feltetelek mellett a
fuggvenytol fuggoen kapunk kaoszt, vagy nem kaotikus oszcillaciot,
felteve, ha a kezdoertek nem a fixpont maga.
A kaotikus fuggveny megoldasa soran olyan ertekeket vesz fel,
amelyek nem kaotikus fuggvenyeknek szinten megoldasai es kiindulo
feltetelei lehetnek.
2. Az elobbibol kovetkezik, hogy a kaosz lenyege nem a
megkozelithetetlen pontossagban van. A kaotikusan lengo inga
palyalyanak megjosolhatatlansaga nem az adott pillanatban elfoglalt
helyenek kifejezhetetlensegebol fakad, hanem abbol, hogy a lokalis
kolcsonhatasok eredmenye felnagyitva hat vissza a rendszerre. Ezt szepen
ugy mondjuk, hogy amikor a topologiai entropia pozitiv, vagyis az egymasra
vetitett periodikus palyak kozotti topologiai viszony megserul,
akkor beszelunk kaoszrol.
4. A szamitogep kapacitasat sem a kezdeti parameterter kifejezese
meriti ki. A kaotikus idosorok elemzesenek, vagy szimulalasanak nem
is kapacitas korlatai vannak, hanem idoi. Pelda: a meteorologiai
elorejelzo programokkal sem az a baj, hogy a szukseges adattomeg
nem reprezentalhato, hanem az eso me'g azelott megered, mielott a
program egy CRAY-en lefut.
5. A hibas joslas nem az idovel romlik le (tetszolegesen). Ha a
becsles fuggvenyet a kaotikus idosor vegehez illesztjuk, a becsles
hibaja az idovel visszafele romlik le. Ha a kozepehez, akkor
mindket iranyban. Ez tehat csak az illesztesbol fakado felreertes.
6. Me'g az sem igaz, hogy a hely bejoslasat a kumulalodo
becslesi hiba hiusitja meg, mert nincs becsles. Mi volna a becsles?
Egy masik fuggveny. Ha ez a fuggveny determinisztikus, akkor
valamifele invarianciat mutat. A kaotikus fuggveny idosorabol
azonban pont az invariancia hianyzik. Kovetkezeskepp a becsles
hibaja is kaotikusan fog valtakozni lepesrol lepesre. Ezert ket
lehetoseg kinalkozik a problema orvoslasara. Vagy becsulunk egy
determinisztikus fuggvennyel, amelynek a hibaja maga is kaotikus,
ezert ezzel nem sokra megyunk. A masik, hogy kaotikussal
becsulunk, viszont ezzel nyerunk sokkal tobbet, mert a kaotikust
csak szimulalni lehet, es az sokaig tart (de neha megeri). Es akkor
jon a megvalto harmadik modszer, amellyel megkeressuk a kaotikus
idosor egy olyan (valahany dimenzios) projekciojat, amely mar
invarianciat mutat. Ezek a jol ismert attraktorok. Ezzel a kaosz
meg is van szeliditve.
A kaosz szimulalasat a fenti ertelemben nem a szamitogep
kapacitasa korlatozza, hanem maganak a fuggvenynek a
termeszete. Az nyilvanvalo, hogy ha n bites szavakon vegezzuk a
szimulaciot, akkor az n+1-edik lepesben olyan ertekkel
kenyszerulunk betolteni az y-t a kaotikus fuggvenyben, amely
korabban szerepelt. Innen pedig a trajektoria ismetlodni fog,
periodikusan. Ettol azonban a kozbenso szakasz meg lehet kaotikus,
mint ahogy a gyakorlatban sem tudjuk megmondani, hogy a vizsgalt
sorozat azert kaotikus, mert nem fogja at a letezo periodust, vagy
mert nincs is periodus. Mindazonaltal a szamabrazolasi tartomany
korlatozottsagatol nem kell tartanunk. Mai lebegopontos vilagunkban
ugyanis a szamitasi pontossag olyan abrazolasi tartomanyt olel
fel, amilyent kitolteni kepes hosszusagu kaotikus idosorokat a
gyakorlatban nem is vizsgalunk.
Hogy mivel jarulhat hozza a kaosz elmelet az elet felteteleinek
es mechanizmusainak megertesehez, azt egy peldaval szeretnenk
illusztralni. Vegyunk egy egyszeru szinuszoid oszcillaciot, es
nezzuk meg, mikent alakul a fazis-kapcsolata (phase-locking) bizonyos
frekvenciakkal. Tekinthetunk egy ezzel ekvivalens sinus-map-et is,
ahol a kulonbozo frekvenciaju hullamok visszteresenek atfedeseit egy kulon
diagrammon vizsgaljuk. Abrazoljuk a frekvenciakat az X tengelyen,
a szinusz kulonbozo amplitudoit pedig az Y tengelyen. Ha
korulhataroljuk azokat a regiokat, amelyen belul stabil fazis-
kapcsolas all fenn, megkapjuk a jellegzetes Arnold-nyelvecskeket.
Ezek a nyelvecskek azt mutatjak, hogy amikor az amplitudo a
vizsgalt nemlinearis oszcillatorban meghaladja az 1-et,
valtozatos bifurkaciok lepnek fel. Itt az 1-es amplitudo mezsgyejen
a kulonbozo frekvenciak egymas utan metszik a kaotikus es szabalyos
zonakat, mig eltavolodva az 1-tol mar mindinkabb kiterjed a
kaotikus ovezet. Nos, az evolucio szempontjabol pontosan ez a tranziens
zona az erdekes, mert itt lep fel olyan komplexitas novekedes,
amely kis elmozdulassal stabilizalhato, vagy varialhato. Ez a
variaciogeneralas lokusza. Azt, hogy az oszcillaciok milyen
szerepet jatszanak az elet beindulasaban (mind ontogenetikai, mind
filogenetikai ertelemben), vagy az idegrendszer mukodeseben, itt
nem kell kifejtenem. Ha kezunkben van egy olyan formalizmus, amely
megmondja, hogy kulonbozo diffuzios sebessegek milyen kombinacioja
alakit ki stabil/instabil (mikor mire van szukseg) patterneket egy
fejlodo embrioban, vagy egyetlen sejtben, megmagyaraztuk mikent dol
el egy eloleny, vagy egy sejt sorsa.
Roger Levin (1992) irja a komplexitasrol szolo konyveben:
"The discovery that universal computation is poised between order
and chaos in dynamical systems was important in itself, with its
analogies to phase transitions in the physical world. It would be
interesting enough if adaptive complex systems inescapably were
located at the edge of chaos, the place of maximum capacity for
information computation. The world could than be seen to be
exploiting the creative dynamics of complex systems, but with no
choice in the matter. But what if such systems actually got
themselves to the edge of chaos, moved in parameter space to the
place of maximum information processing? That would be really
interesting: the ghost in the machine would seem to be almost
purposeful, piloting the system to maximum creativity."
(A szimulacio kulonben elvegeztetett 1988-ban.)
Cafoljatok meg, meg mielott a leghajonk pukkad ki.
Nadasdy Zoltan es Koos Tibor